Диагонали через отношения сторон

Пусть $\theta=\angle PWQ$. По расширенной теореме синусов $\sin\theta=PQ/(2R)=16/20=4/5$. Поскольку угол острый, $\cos\theta=3/5$.

Обозначим $PW=z>0$. По теореме косинусов $16^2=z^2+12^2-2\cdot z\cdot12\cdot\frac35$. Получаем $5z^2-72z-560=0$, или $(5z+28)(z-20)=0$. Положительный корень только один: $PW=20$.

Равенство $16^2+12^2=20^2$ означает по обратной теореме Пифагора, что $\angle PQW=90^\circ$.

Доли от сторон равны $BP/BA=BQ/BC=4/5$. По обратной теореме Фалеса $PQ\parallel AC$, причём $PQ/AC=4/5$, поэтому $AC=20$. В треугольнике $CBD$ имеем $CQ/CB=CW/CD=1/5$. Значит $QW\parallel BD$ и $QW/BD=1/5$, откуда $BD=60$.

Так как $PQ\perp QW$, параллельные им диагонали тоже перпендикулярны. Площадь выпуклого четырёхугольника с такими диагоналями равна половине их произведения: $S=AC\cdot BD/2=20\cdot60/2=600$. Формула получается сложением площадей четырёх прямоугольных треугольников у точки пересечения диагоналей.