Окружность в четырёхугольнике внутри трапеции

Поскольку $M$ лежит на окружности с диаметром $AD$, угол $AMD$ прямой: $AM\perp CD$. Аналогично $\angle CND=90^\circ$, поэтому $CN\perp AD$. Здесь $M$ и $N$ — вторые точки пересечения, отличные от $D$.

Пусть $AD=b$, $BC=a$ и $t=\frac{b-a}{2}$. В заданной конфигурации $b>a$: иначе перпендикуляр из $C$ не попал бы внутрь отрезка $AD$ в точку $N$. Выберем $A=(0;0)$, $D=(b;0)$, $B=(t;h)$, $C=(\frac{a+b}{2};h)$. Обозначим $s=\frac{a+b}{2}$, тогда $b=s+t$, $a=s-t$ и $0<t<s$. Векторы диагоналей можно взять как $\overrightarrow{AC}=(s;h)$ и $\overrightarrow{BD}=(s;-h)$. Их скалярное произведение равно нулю: $s^2-h^2=0$. Поскольку $h>0$, получаем $h=s$. Значит $B=(t;s)$ и $C=(s;s)$.

Из $CN\perp AD$ следует $N=(s;0)$, поэтому прямая $CN$ имеет уравнение $x=s$. Направляющий вектор $CD$ равен $(t;-s)$. Перпендикулярная ему прямая $AM$ проходит через начало координат и имеет уравнение $y=\frac tsx$. На пересечении с $x=s$ получаем $P=(s;t)$.

Отражение относительно прямой $AC$, то есть $y=x$, переставляет $B=(t;s)$ и $P=(s;t)$, а $A$ и $C$ оставляет на месте. Поэтому $ABCP$ — выпуклый четырёхугольник, симметричный относительно $AC$. Возьмём точку $I$, где внутренняя биссектриса угла $ABC$ пересекает диагональ $AC$. Она лежит внутри четырёхугольника. Расстояния от $I$ до прямых $AB$ и $BC$ равны, поскольку $I$ на биссектрисе. Симметрия относительно $AC$ даёт такие же расстояния до $AP$ и $CP$. Следовательно, окружность с центром $I$ и этим общим радиусом касается всех четырёх сторон. Она лежит в пересечении внутренних полуплоскостей четырёх сторон, поэтому точки касания находятся на самих сторонах, а не на их продолжениях. Это и доказывает утверждение.

При $a=7$, $b=23$ получаем $s=15$, $t=8$. Значит $A=(0;0)$, $B=(8;15)$, $C=(15;15)$, $P=(15;8)$. Длины $AB=AP=\sqrt{8^2+15^2}=17$, а $BC=CP=7$. Полупериметр четырёхугольника равен $p=\frac{17+7+7+17}{2}=24$.

Диагональ $AC$ делит четырёхугольник на два равных треугольника $ABC$ и $APC$. У $ABC$ основание $BC=7$, а высота из $A$ к прямой $BC$ равна 15. Поэтому общая площадь $S=2\cdot\frac12\cdot7\cdot15=105$. Для четырёхугольника с вписанной окружностью $S=rp$: это сумма площадей четырёх треугольников с высотой $r$. Отсюда $r=\frac{105}{24}=\frac{35}{8}$.

Из симметрии центр имеет вид $I=(u;u)$. Расстояние до $BC$ и $CP$ равно $15-u$. Прямая $AB$ задаётся уравнением $15x-8y=0$, расстояние до неё равно $\frac{7u}{17}$. Уравнение $15-u=\frac{7u}{17}$ даёт $u=\frac{85}{8}$ и радиус $15-u=\frac{35}{8}$, что совпадает с ответом.