Профильная математика · задание 17

Максимальная мощность

На заводе имеется генератор с ЭДС

\varepsilon=50

В и внутренним сопротивлением

r=1

Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки

R

(в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома:

I=\frac\varepsilon{r+R}

. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля – Ленца:

P=I^2R

. Какова максимальная тепловая мощность

P

, которая может быть выделена нагрузкой?

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

625 Вт, при

R=1

Ом.

P=\left(\frac{50}{1+R}\right)^2R=\frac{2500R}{(1+R)^2}

, где

R\ge0

. Ищем наибольшее значение этой функции.

P'(R)=\frac{2500(1-R)}{(1+R)^3}

. На рассматриваемой области знаменатель положителен. При

0\le R<1

производная положительна, при

R>1

отрицательна: функция сначала возрастает, потом убывает.

Максимум достигается при

R=1

. Его значение

P(1)=\frac{2500}{4}=625

Вт. Ответ требует мощность, поэтому пишем 625 Вт, а не сопротивление 1 Ом.

Проверь этот момент

Недостаточно найти критическую точку. Покажи смену знака производной с плюса на минус.

Изменяй сопротивление нагрузки R. Проследи, где мощность растёт, а где начинает уменьшаться.

Сопротивление R, Ом1

P(1)=\frac{2500\cdot1}{(1+1)^2}\approx625

Вт.

На графике видно поведение функции; знак производной в разборе доказывает максимум.

Изменения здесь относятся к учебному примеру. Ответ исходного задания сохраняется отдельно.

При R = 1 чему равен знаменатель (1+R)²?

Эта проверка помогает понять разбор и не меняет результат задания.

Краткие критерии ФИПИ. Полная таблица есть в источнике задания.

Построена модель и обоснованно получен верный ответ.

Все шаги решения верны, но допущена вычислительная ошибка.

Ни один из критериев выше не выполнен.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.