Окружность и высота треугольника

Пусть $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Тогда $\angle ABC=180^\circ-2\alpha$, а в прямоугольном $BCH$ угол $BCH=2\alpha-90^\circ$. Луч $CO$ делит этот угол пополам, поэтому $\angle BCO=\alpha-45^\circ$ и $\angle ACO=45^\circ$.

Луч $HO$ — биссектриса прямого угла $BHC$: $\angle CHO=45^\circ$, $\angle AHO=135^\circ$. Сумма противоположных углов $AHO$ и $ACO$ равна $180^\circ$, значит, четырёхугольник $AHOC$ вписанный. Вписанные углы $OAC$ и $OHC$, опирающиеся на одну хорду $OC$, равны. Поэтому $\angle OAC=45^\circ$.

В той же окружности $\angle AOC=\angle AHC=90^\circ$. Пусть $M$ — середина $AC$. Медиана к гипотенузе прямоугольного $AOC$ равна её половине: $OM=AC/2=3$. В равнобедренном $ABC$ медиана $BM$ является высотой и биссектрисой. Центр $O$ лежит на $BM$ между $B$ и $M$, поэтому $BM=BO+OM=4$.

В прямоугольном $BMC$ имеем $MC=3$ и $BM=4$. По теореме Пифагора $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.