Профильная математика · задание 18

Подобные треугольники и хорда окружности

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1 б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если

\angle A=120^\circ

BC=10\sqrt{7}

и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

а)

\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1

. б)

B_1C_1=5\sqrt7

R=\frac{35\sqrt3}{3}

Разбор решения

Доказываем подобие

Для двух секущих из точки

A

имеем

AB\cdot AC_1=AC\cdot AB_1

. Поэтому

AB/AC=AB_1/AC_1

. Угол при

A

общий, и треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Переходим от площадей к сторонам

Пусть площадь

AB_1C_1

равна

s

. Площадь четырёхугольника равна

3s

, значит,

S_{ABC}=4s

. Коэффициент подобия равен

2

, поэтому

B_1C_1=BC/2=5\sqrt7

AB_1=AB/2

Вычисляем BB₁

Пусть

AB=c

. В треугольнике

ABB_1

угол

A=120^\circ

, поэтому

BB_1^2=c^2+c^2/4-2c\cdot(c/2)\cos120^\circ=7c^2/4

. Следовательно,

BB_1=c\sqrt7/2

Находим радиус

Вписанный угол

BCB_1

равен углу

C

треугольника

ABC

. Значит,

R=BB_1/(2\sin C)

. По теореме синусов

\sin C=c\sin120^\circ/BC

. Поэтому

R=\frac{BB_1\cdot BC}{2c\sin120^\circ}=\frac{(c\sqrt7/2)(10\sqrt7)}{c\sqrt3}=\frac{35\sqrt3}{3}

Проверь этот момент

Треугольники подобны с перестановкой вершин B↔B₁, C↔C₁. Поэтому AB₁=AB/2, а не AC/2.

Ориентиры для самопроверки

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Обоснованно доказано подобие и правильно найдены обе величины пункта б.

Доказано подобие и верно найдена длина; радиус не получен или содержит ошибку.

Обоснованно доказано подобие либо обоснованно найдена длина по отношению площадей.

Указанных обоснований нет.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 18

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →