Профильная математика · задание 18
Диагонали по треугольнику на сторонах
ФИПИ 56C211 · Развернутый ответ
- КЭС 7.1 · Фигуры на плоскости
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, , угол PWQ – острый.
а) Докажите, что треугольник – прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника .
Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.
Ответ
а) ; б) .
Разбор решения
а) Используем радиус и острый угол
Обозначим . По расширенной теореме синусов . Угол острый, поэтому . Условие об остром угле определяет положительный знак косинуса.
Находим третью сторону
Пусть . По теореме косинусов в угле : . После переноса и умножения на 5: , или . Из двух корней и 20 подходит только .
Доказываем прямой угол
Теперь . По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный, причём прямой угол находится при .
б) Находим диагонали
Из следует . Из следует . Значит по обратной теореме Фалеса , и . Поэтому . В треугольнике отношения , поэтому и .
Угол между диагоналями и площадь
Так как , а и , диагонали и перпендикулярны. У выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями : это сумма площадей четырёх прямоугольных треугольников у их пересечения. Следовательно, .
Проверь этот момент
Отношение AP:PB = 3:4 даёт BP/BA = 4/7. Важно брать доли от общей стороны и от нужной вершины.
Ориентиры для самопроверки
Учебная шкала платформы для этой карточки.
3
Доказан прямой угол при Q, получены диагонали 28 и их перпендикулярность, найдена площадь 392.
2
Прямоугольность доказана и верно выражены диагонали, но площадь не получена из-за незавершённого вычисления.
1
Доказана прямоугольность треугольника либо обоснованно установлены связи PQ = 4AC/7 и QW = 3BD/7.
0
Нет обоснованного результата по перечисленным этапам.
Вернись к своим ошибкам
В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.
Продолжить с прогрессом →