Вероятность события: как считать исходы и когда вычитать из единицы

В простой задаче на вероятность сначала нужно определить, что считается отдельным исходом. Это может быть выбранная карточка, выпавшая грань кубика или пара результатов двух бросков. После этого станет понятно, что считать в числителе и знаменателе.

Когда работает формула m/n

Если все элементарные исходы одинаково возможны, вероятность события равна доле подходящих исходов среди всех. Событие здесь означает условие, которое может выполниться: например, «выбранная ручка синяя».

P(A) = m/n, где n — число всех равновозможных исходов, m — число подходящих.

Слово «равновозможных» существенно. У правильного игрального кубика каждая грань выпадает с вероятностью 1/6. Но суммы двух кубиков от 2 до 12 встречаются с разной вероятностью. Сумму 2 даёт только пара (1; 1), а сумму 7 дают шесть пар. Поэтому нельзя просто взять одиннадцать возможных сумм и считать их одинаково частыми.

В конечной модели ответ лежит между 0 и 1 включительно. Число 0 означает невозможное событие, 1 достоверное. Если нужна запись в процентах, умножь вероятность на 100%. Без такого требования оставляй вероятность числом или точной дробью. Приближение вводи только с нужной точностью.

Пример 1. Выбор одной ручки

В коробке 6 чёрных, 4 синих и 10 красных ручек. Одну ручку выбирают так, что каждая из двадцати одинаково вероятно окажется выбранной. Найдём вероятность получить не красную ручку.

1. Что является исходом? Конкретная ручка. Всего 6 + 4 + 10 = 20 исходов. Три цвета не образуют три равновероятных исхода: ручек этих цветов разное количество.
2. Какие исходы подходят? Чёрные и синие ручки. Их 6 + 4 = 10. Одна ручка не может одновременно принадлежать обоим этим цветам, поэтому при сложении ничего не посчитали дважды.
3. Какова доля? P = 10/20 = 0,5. Это ровно половина всех ручек.

Можно проверить результат иначе. Вероятность красной ручки равна 10/20 = 0,5. Всё остальное приходится на событие «не красная», поэтому его вероятность равна 1 − 0,5 = 0,5.

Противоположное событие

Событие A и противоположное ему событие вместе покрывают все исходы и не пересекаются. Если A не произошло, обязательно произошло противоположное. Поэтому сумма их вероятностей равна единице.

P(не A) = 1 − P(A).

Так удобно считать «хотя бы один»: противоположное событие означает «ни одного». Обрати внимание на границы. Противоположность к «не менее двух» звучит «меньше двух», то есть ноль или один. Формулировка «не два» означает другое: она включает также три, четыре и последующие значения.

Пример 2. Хотя бы одна шестёрка

Независимо бросают два правильных шестигранных кубика. Найдём вероятность, что хотя бы на одном выпадет 6. Слова «хотя бы на одном» разрешают и две шестёрки.

1. Различим кубики, например назовём их первым и вторым. Тогда (2; 6) и (6; 2) являются разными исходами. Всего 6 · 6 = 36 равновозможных пар.
2. Рассмотрим противоположное событие: шестёрок нет. На каждом кубике подходят пять значений: 1, 2, 3, 4, 5. Получается 5 · 5 = 25 пар, их вероятность 25/36.
3. Вычтем из единицы: P = 1 − 25/36 = 11/36. Это точный ответ; записывать вместо него округлённые 0,31 без требования задачи не нужно.

Есть прямая проверка: шесть пар содержат шестёрку на первом кубике, ещё шесть на втором. Пара (6; 6) входит в обе группы. Убираем повтор: 6 + 6 − 1 = 11 подходящих исходов. Простое сложение 1/6 + 1/6 дало бы лишний учёт этой пары.

Частая ошибка

Не делай знаменателем число названных в условии категорий. Сначала проверь, одинаково ли они вероятны. Ещё до вычислений коротко запиши: «один исход это …». Для ручек ответом будет «одна из двадцати ручек», для двух кубиков «одна из тридцати шести упорядоченных пар». Такая запись помогает выбрать правильную модель и не перепутать число подходящих исходов с самой вероятностью.