Задание 6 ЕГЭ 2027 по математике: математическое ожидание с нуля

В проекте демоверсии ЕГЭ 2027 года по профильной математике есть задание 6 на случайные величины. В демоверсии это задача о математическом ожидании: нужно найти, какой выигрыш в среднем приходится на один лотерейный билет. Тема новая, но разобраться в ней можно за один вечер, если понимать, что такое вероятность и среднее арифметическое.

Что такое случайная величина

Случайная величина это число, которое зависит от исхода случайного опыта. Бросаем кубик: число очков на верхней грани и есть случайная величина, она принимает значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Покупаем лотерейный билет: выигрыш тоже случайная величина, он может оказаться 0 рублей, 100 рублей и так далее.

Чтобы описать случайную величину, перечисляют все её значения и вероятность каждого. Такой список называют распределением. Сумма всех вероятностей равна 1, потому что какой-то исход происходит обязательно.

Математическое ожидание

Математическое ожидание показывает, какое значение случайная величина принимает в среднем, если опыт повторять много раз. Каждое значение умножают на его вероятность, а результаты складывают:

E(X) = x₁ · p₁ + x₂ · p₂ + … + xₙ · pₙ

Откуда берётся формула. Пусть опыт повторили N раз. Значение x₁ выпадет примерно p₁ · N раз, значение x₂ примерно p₂ · N раз и так далее. Среднее арифметическое равно сумме всех результатов, делённой на N:

(x₁ · p₁N + x₂ · p₂N + … + xₙ · pₙN) : N = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

Множитель N сокращается. Поэтому математическое ожидание и есть среднее значение за очень большое число повторений.

Пример 1. Игральный кубик

Каждое из чисел от 1 до 6 выпадает с вероятностью 1/6. Тогда

E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · 1/6 = 21/6 = 3,5

Ожидание не обязано совпадать с одним из возможных значений: грани 3,5 у кубика нет. Это среднее, к которому приближается результат, если бросать кубик много раз.

Пример 2. Задача из демоверсии

В лотерее 10 000 билетов. Выигрыш 100 руб. получают 500 билетов, 1000 руб. получают 100 билетов, 5000 руб. получают 50 билетов, 10 000 руб. получают 10 билетов, 50 000 руб. получает 1 билет. Остальные не выигрывают. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет в рублях.

1. Вероятность выигрыша равна доле билетов с ним. Например, выигрыш 100 руб. имеет вероятность 500 : 10 000 = 0,05.
2. Удобнее сразу посчитать сумму всех выигрышей: 500 · 100 + 100 · 1000 + 50 · 5000 + 10 · 10 000 + 1 · 50 000 = 50 000 + 100 000 + 250 000 + 100 000 + 50 000 = 550 000 руб.
3. Делим на число всех билетов: 550 000 : 10 000 = 55 руб.

Это та же формула ожидания: каждый выигрыш умножается на долю билетов, на которые он выпадает. Билеты без выигрыша дают слагаемое 0, но входят в общее число билетов. Ответ: 55.

Пример 3. Сколько попаданий в среднем

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8 и делает 5 независимых выстрелов. Сколько попаданий он делает в среднем?

Здесь помогает свойство: ожидание суммы равно сумме ожиданий. Один выстрел даёт 1 попадание с вероятностью 0,8 и 0 попаданий с вероятностью 0,2. Его ожидание 1 · 0,8 + 0 · 0,2 = 0,8. Пять выстрелов дают в среднем 5 · 0,8 = 4 попадания.

Как решать задание 6

1. Пойми, какое число является случайной величиной и какие значения оно принимает.
2. Найди вероятность каждого значения и проверь, что их сумма равна 1.
3. Умножь каждое значение на его вероятность и сложи.
4. Проверь ответ на здравый смысл: ожидание лежит между наименьшим и наибольшим значением.

Частые ошибки

• Неверный знаменатель. Сумму выигрышей делят на число выигрышных билетов, а не на все билеты. В примере 2 вышло бы 550 000 : 661 ≈ 832 вместо 55.
• Среднее значений без вероятностей. Если сложить пять выигрышей и разделить на 5, получится 13 220 руб. Это неверно: дорогих выигрышей мало, и их вклад в среднее небольшой.
• Проценты вместо долей. Вероятность 5% в формуле записывают как 0,05, а не как 5.

Где потренироваться

На Базисе есть задание 6 с полным разбором и задания на вероятность 4 и 5. Если нужно повторить, как считать вероятности, начни с урока «Вероятность события». Общий план подготовки есть в статье «Как подготовиться к ЕГЭ по профильной математике с нуля». Решать можно без регистрации.