Задание 13 ЕГЭ 2027: финансовая математика, кредиты и вклады с нуля

В проекте демоверсии ЕГЭ 2027 года задача на кредит стоит в первой части: это задание 13 с кратким ответом, за него дают 1 балл. Решение записывать не нужно, достаточно верного числа. Но чтобы его получить, придётся аккуратно вести расчёт по годам. Разберём, как устроены проценты по кредиту, чем отличаются схемы платежей и как проверить ответ.

Проценты: основа всех задач

Увеличить число на 20% значит прибавить к нему 0,2 от него самого: S + 0,2S = 1,2S. Поэтому увеличение на p% всегда равно умножению на k = 1 + p/100. При 20% это 1,2, при 10% это 1,1, при 25% это 1,25.

Если увеличение повторяется, множители перемножаются. За два года при 20% сумма растёт в 1,2 · 1,2 = 1,44 раза, то есть на 44%, а не на 40%. За три года в 1,2³ = 1,728 раза. Проценты за несколько лет нельзя складывать.

Как меняется долг по кредиту

В задачах ЕГЭ обычно такая схема: раз в год, например в январе, долг увеличивается на r%, а затем, с февраля по июнь, заёмщик вносит платёж. Если долг был S, а платёж x, то после года долг равен

S · k − x, где k = 1 + r/100

Каждый следующий год повторяет то же действие с новым долгом. Кредит погашен, когда после последнего платежа долг равен нулю.

Пример 1. Три равных платежа

Это задача из демоверсии. В июле взяли кредит 182 000 руб. на три года. Каждый январь долг увеличивается на 20%, а с февраля по июнь вносится один платёж. Кредит полностью погашается тремя равными платежами. Найдите общую сумму платежей.

1. Множитель k = 1,2, платёж обозначим x.
2. Долг после третьего платежа равен нулю: ((182 000 · 1,2 − x) · 1,2 − x) · 1,2 − x = 0.
3. Раскрываем скобки: 182 000 · 1,728 = x · (1,44 + 1,2 + 1), то есть 314 496 = 3,64x.
4. Отсюда x = 314 496 : 3,64 = 86 400 руб., а общая сумма платежей 3 · 86 400 = 259 200 руб.

Проверка по годам. Первый год: 182 000 · 1,2 = 218 400, после платежа остаётся 132 000. Второй год: 132 000 · 1,2 = 158 400, остаётся 72 000. Третий год: 72 000 · 1,2 = 86 400, после платежа 0. Всё сходится.

Пример 2. Долг уменьшается равномерно

Вторая частая схема: долг каждый год уменьшается на одну и ту же сумму. Пусть взяли 600 000 руб. на 3 года под 10%, и долг после каждого платежа уменьшается на 200 000 руб. Тогда каждый платёж равен процентам за год плюс 200 000:

• первый год: 600 000 · 0,1 + 200 000 = 260 000 руб.;
• второй год: 400 000 · 0,1 + 200 000 = 240 000 руб.;
• третий год: 200 000 · 0,1 + 200 000 = 220 000 руб.

Всего 720 000 руб. Переплата, то есть сумма процентов, равна 720 000 − 600 000 = 120 000 руб. Платежи здесь убывают, потому что проценты начисляются на всё меньший долг.

Пример 3. Вклад

На вклад положили 100 000 руб. под 10% годовых с начислением процентов раз в год. Через два года на счёте 100 000 · 1,1 · 1,1 = 121 000 руб. Во втором году проценты начисляются уже на 110 000 руб., поэтому прибавка 11 000, а не 10 000.

Как решать задание 13

1. Определи схему: равные платежи, равномерное уменьшение долга или вклад.
2. Запиши множитель k и что происходит с суммой за один год.
3. Распиши долг или вклад по годам, по строке на год.
4. Составь уравнение: например, долг после последнего платежа равен нулю.
5. Найди то, о чём спрашивают: платёж, сумму всех платежей или переплату.
6. Проверь ответ, пересчитав долг по годам.

Частые ошибки

• Сложить проценты за несколько лет. 20% за три года дают рост в 1,728 раза, а не в 1,6.
• Ответить не на тот вопрос. Общая сумма платежей, один платёж и переплата это три разных числа.
• Округлить множитель. Степени k считай точно: 1,1² = 1,21, 1,2³ = 1,728.
• Перепутать единицы. Если суммы даны в тысячах рублей, ответ тоже нужен в тысячах, если в условии не сказано иное.

Где потренироваться

На Базисе есть задание 13 с полным разбором и урок «Задачи на кредиты: таблица долга и два вида платежей». В кабинете можно потренироваться на других задачах этого номера. Общий план подготовки есть в статье «Как подготовиться к ЕГЭ по профильной математике с нуля».