Задачи на кредиты: таблица долга и два вида платежей

В задаче на кредит важно следить за остатком долга в каждый момент. Проценты увеличивают долг, платёж уменьшает. Если записать эти действия в правильном порядке, сложное на вид условие превращается в несколько строк таблицы или одно уравнение.

Что происходит за один период

Пусть в начале периода долг равен D. Если сначала на него начисляют r процентов, долг становится D · (1 + r/100). Затем заёмщик вносит платёж A. Остаток после платежа равен:

Новый долг = D · (1 + r/100) − A.

Например, 10% превращают долг 200 тысяч рублей в 220 тысяч. Платёж 70 тысяч оставит 150 тысяч. Из этих 70 тысяч только 50 тысяч уменьшают первоначальный долг, а 20 тысяч покрывают начисленные проценты.

Прочитай порядок событий в условии. Если платёж вносят до начисления процентов, запись изменится. Не переносить платёж через знак умножения особенно важно в задачах с несколькими периодами: ошибка в первой строке изменит все следующие.

Два похожих условия с разным смыслом

Долг после выплат уменьшается на одну и ту же сумму. Это значит, что равными частями возвращают основной долг. Проценты каждый раз начисляются на всё меньший остаток, поэтому полные платежи уменьшаются.

Выплаты одинаковые. Каждый раз перечисляют одну и ту же сумму. Но внутри платежа доли процентов и погашения основного долга могут различаться. Нельзя автоматически делить исходный кредит на число лет и считать полученное число ежегодным платежом.

Пример 1. Равное погашение основного долга

Кредит 600 тысяч рублей выдан на три года. В конце каждого года сначала начисляют 20% на текущий остаток, затем вносят платёж. После платежей основной долг должен уменьшаться одинаково: с 600 до 400, затем до 200 и до нуля. Найдём общую сумму выплат.

1. В каждом году погашают 600/3 = 200 тысяч рублей основного долга. К этим 200 тысячам нужно прибавить проценты за соответствующий год.
2. В первом году проценты равны 600 · 0,2 = 120 тысяч. Платёж: 200 + 120 = 320 тысяч. Проверка остатка: 600 · 1,2 − 320 = 400.
3. Во втором году проценты начисляют уже на 400 тысяч: 400 · 0,2 = 80. Платёж равен 280 тысяч, остаток 400 · 1,2 − 280 = 200.
4. В третьем году проценты составят 200 · 0,2 = 40 тысяч. Платёж 240 тысяч полностью закроет долг.

Все суммы в тысячах рублей

Год	Долг до процентов	Проценты	Платёж	Остаток
1	600	120	320	400
2	400	80	280	200
3	200	40	240	0

Сумма выплат: 320 + 280 + 240 = 840 тысяч рублей. Переплата равна 840 − 600 = 240 тысяч рублей. Её можно проверить сложением процентов: 120 + 80 + 40 = 240. Основной долг уже входит в полные платежи, второй раз прибавлять его к 840 не нужно.

Пример 2. Две одинаковые выплаты

Кредит 410 тысяч рублей выдан на два года под 5% годовых. В конце каждого года сначала начисляют проценты, затем вносят одинаковый платёж A. После второго платежа долг должен стать нулевым. Найдём A.

1. Первое начисление увеличит долг до 410 · 1,05 = 430,5 тысячи рублей. После первого платежа останется 430,5 − A.
2. Во втором году проценты начислят на этот остаток. После второго платежа получим уравнение 1,05(430,5 − A) − A = 0.
3. Раскроем скобки: 452,025 − 1,05A − A = 0. Следовательно, 2,05A = 452,025 и A = 220,5 тысячи рублей.
4. Проверим остатки: после первой выплаты 430,5 − 220,5 = 210. Через год 210 · 1,05 = 220,5, поэтому вторая такая же выплата полностью погашает долг.

Всего перечислят 2 · 220,5 = 441 тысячу рублей, переплата составит 31 тысячу. Эти числа отвечают на разные вопросы: размер одной выплаты, сумма всех выплат и переплата не взаимозаменяемы.

Частая ошибка

Нельзя каждый год начислять проценты на первоначальную сумму, если по условию их начисляют на оставшийся долг. В первом примере база последовательно равна 600, 400 и 200 тысячам. Запиши единицу измерения над таблицей и сохраняй её во всех строках. В конце переведи ответ в рубли, если именно рубли требуются в задаче: 220,5 тысячи рублей равны 220500 рублям.