Уравнение и отбор корней

После подстановки формул получаем $2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0$, то есть $\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0$. Делить на $\cos x$ нельзя: потеряются корни первой ветви.

Из $\cos x=0$ следует $x=\frac\pi2+\pi k$. Из $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ следует $x=\pm\frac\pi4+2\pi k$. В каждой формуле $k$ — целое число.

Удобно разделить границы и корни на $\pi$. Для первой ветви $-4\le\frac12+k\le-\frac52$, поэтому $k=-4,-3$. Получаем $-\frac{7\pi}{2}$ и $-\frac{5\pi}{2}$. В ветви $\frac14+2k$ подходит $k=-2$: корень $-\frac{15\pi}{4}$. В ветви $-\frac14+2k$ подходящих целых $k$ нет. Концы отрезка тоже проверяем.