Профильная математика · задание 14

Формулы приведения

а) Решите уравнение

4\cos(x+\frac\pi4)+2\sqrt2\cos(\pi-x)=2

. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[\frac{17\pi}{2};10\pi]

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

а)

x=-\frac\pi4+2\pi k

или

x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k

k\in\mathbb Z

. б)

\frac{37\pi}{4};\frac{39\pi}{4}

\cos(x+\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos x-\sin x)

, а

\cos(\pi-x)=-\cos x

. Поэтому уравнение превращается в

-2\sqrt2\sin x=2

\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}

. Отсюда две серии:

x=-\frac\pi4+2\pi k

x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k

Отрезок в единицах

\pi

—

[8{,}5;10]

. В обеих сериях подходит только

k=5

: получаются

\frac{39\pi}{4}=9{,}75\pi

\frac{37\pi}{4}=9{,}25\pi

Проверь этот момент

Знак в

\cos(\pi-x)=-\cos x

определяет всё решение.

Краткие критерии ФИПИ. Полная таблица есть в источнике задания.

Обоснованно решены оба пункта.

Обоснованно решён пункт а; либо все шаги обоих пунктов верны, но ответ неверен из-за вычислительной ошибки.

Ни один из критериев выше не выполнен.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.