Профильная математика · задание 14

Показательные степени с тригонометрическим аргументом

ФИПИ 617B18 · Развернутый ответ

КЭС 2.3 · Тригонометрические уравнения
КЭС 2.4 · Показательные и логарифмические уравнения

а) Решите уравнение

8\cdot {16}^{{\sin }^{2}x}-2\cdot {4}^{\cos 2x}=63

. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[\frac{7\pi }{2};5\pi ]

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

а)

x=\pm\frac\pi3+\pi k

k\in\mathbb Z

; б)

\frac{11\pi}3

\frac{13\pi}3

\frac{14\pi}3

Разбор решения

Сводим обе степени к одной переменной

Пусть

t=16^{\sin^2x}>0

. Поскольку

4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=4/16^{\sin^2x}=4/t

, исходное уравнение принимает вид

8t-8/t=63

Решаем квадратное уравнение

Умножаем на положительное

t

8t^2-63t-8=0

. Разложение

(8t+1)(t-8)=0

даёт

t=-1/8

или

t=8

. Отрицательный корень не подходит.

а) Возвращаемся к тригонометрии

16^{\sin^2x}=8

, то есть

2^{4\sin^2x}=2^3

. Поэтому

\sin^2x=3/4

. Все решения:

x=\pi/3+\pi k

или

x=-\pi/3+\pi k

k\in\mathbb Z

б) Отбираем корни первой серии

Для

x=\pi/3+\pi k

условие

7\pi/2\le x\le5\pi

равносильно

19/6\le k\le14/3

. Единственное целое

k=4

, поэтому получаем

13\pi/3

Отбираем корни второй серии

Для

x=-\pi/3+\pi k

получаем

23/6\le k\le16/3

, откуда

k=4

или

k=5

. Это

11\pi/3

14\pi/3

. Итак, на отрезке три корня:

11\pi/3

13\pi/3

14\pi/3

Проверь этот момент

Положительность t обязательна: отрицательный корень квадратного уравнения не соответствует показательной степени.

Ориентиры для самопроверки

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Получено общее решение и обоснованно отобраны все три корня на отрезке.

Общее решение верно, но при отборе допущена ошибка или отбор не выполнен.

Нет обоснованного результата по перечисленным этапам.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 14

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →