Профильная математика · задание 14

Логарифмы синуса и отбор корней

ФИПИ 638272 · Развернутый ответ

КЭС 2.3 · Тригонометрические уравнения
КЭС 2.4 · Показательные и логарифмические уравнения

а) Решите уравнение

\frac{{\log }_{2}^{2}(\sin x)+{\log }_{2}(\sin x)}{2\cos x+\sqrt{3}}=0

. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[0;\frac{3\pi }{2}]

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

а)

x=\frac\pi6+2\pi k

или

x=\frac\pi2+2\pi k

k\in\mathbb Z

. б)

\frac\pi6;\frac\pi2

Разбор решения

Записываем ограничения

Логарифм определён только при

\sin x>0

. Кроме того,

2\cos x+\sqrt3\ne0

, то есть

\cos x\ne-\sqrt3/2

. Без этих условий нельзя заменять дробь её числителем.

Решаем уравнение для логарифма

Пусть

t=\log_2(\sin x)

. Получаем

t^2+t=t(t+1)=0

, откуда

t=0

или

t=-1

. Следовательно,

\sin x=1

или

\sin x=1/2

. Оба значения синуса положительны.

Проверяем все серии корней

Равенство

\sin x=1

даёт

x=\pi/2+2\pi k

. Равенство

\sin x=1/2

даёт

x=\pi/6+2\pi k

x=5\pi/6+2\pi k

, где

k\in\mathbb Z

. Последняя серия запрещена: в ней

\cos x=-\sqrt3/2

и знаменатель равен нулю. Первые две серии удовлетворяют всем ограничениям.

Отбираем корни отрезка

На

[0;3\pi/2]

в обеих оставшихся сериях подходит только

k=0

. При

k<0

корни отрицательны, при

k>0

больше

3\pi/2

. Поэтому в пункте б ответ

\pi/6

\pi/2

Проверь этот момент

В точке 5π/6 получается неопределённое 0/0. Она не является корнем исходного уравнения.

Ориентиры для самопроверки

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Получены обе допустимые серии корней и правильно выполнен отбор на отрезке.

Верно решён пункт а с проверкой знаменателя либо обоснованно выполнен пункт б.

Нет обоснованно завершённой части решения.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 14

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →

Теория к задаче

Профильная математика

Логарифмические уравнения: ОДЗ и проверка корней

Как перейти от логарифма к степени, объединить сумму логарифмов и убрать посторонний корень. Два решения по шагам и самопроверка.

Разобрать тему →