Профильная математика · задание 14

Показательные степени и отбор по синусу

ФИПИ A6BC58 · Развернутый ответ

а) Решите уравнение

\frac{{4}^{\sin 2x}-{2}^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0

. б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

[-\frac{13\pi }{2};-5\pi ]

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

а)

x=\frac\pi6+2\pi k

k\in\mathbb Z

; б)

x=-\frac{35\pi}6

Корень

\sqrt{7\sin x}

стоит в знаменателе, поэтому

7\sin x>0

, то есть

\sin x>0

. Нулевое значение синуса не допускается.

При ненулевом знаменателе дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель. Так как

4^{\sin2x}=2^{2\sin2x}

, получаем

2\sin2x=2\sqrt3\sin x

По формуле двойного угла

2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x

. Делим на положительное

\sin x

\cos x=\sqrt3/2

. Из двух серий

x=\pm\pi/6+2\pi k

условию

\sin x>0

соответствует только

x=\pi/6+2\pi k

Требуем

-13\pi/2\le\pi/6+2\pi k\le-5\pi

. После деления на

\pi

и переноса получаем

-10/3\le k\le-31/12

. Единственное целое число здесь

k=-3

. Поэтому

x=\pi/6-6\pi=-35\pi/6

Проверь этот момент

Нельзя оставлять корни с sin x = 0: исходная дробь там не определена.

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Получена полная серия с учётом ОДЗ и правильно отобран корень −35π/6.

Верно решён пункт а с учётом ОДЗ, но отбор на отрезке не завершён или содержит ошибку.

Полное решение уравнения на ОДЗ не получено.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Как перейти от логарифма к степени, объединить сумму логарифмов и убрать посторонний корень. Два решения по шагам и самопроверка.