Степени и тригонометрический отбор

Положим $t=4^{\cos2x}>0$. По формуле $2\sin^2x=1-\cos2x$ получаем $16^{\sin^2x}=4^{2\sin^2x}=4^{1-\cos2x}=\frac4t$.

Исходное равенство превращается в $\frac{16}t-6t=29$. Умножение на $t>0$ допустимо. Получаем $6t^2+29t-16=0$. Дискриминант $29^2+4\cdot6\cdot16=1225=35^2$, поэтому $t=\frac{-29+35}{12}=\frac12$ либо $t=\frac{-29-35}{12}=-\frac{16}3$. Второй корень отрицателен и не подходит.

Так как $\frac12=4^{-1/2}$, равенство $4^{\cos2x}=\frac12$ даёт $\cos2x=-\frac12$. Значит, $2x=\pm\frac{2\pi}3+2\pi k$, откуда $x=\pm\frac\pi3+\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Для ветви $x=\frac\pi3+\pi k$ условие $\frac{3\pi}2\le x\le3\pi$ даёт $\frac76\le k\le\frac83$, то есть только $k=2$ и корень $\frac{7\pi}3$. Для ветви $x=-\frac\pi3+\pi k$ получаем $\frac{11}6\le k\le\frac{10}3$, то есть $k=2,3$ и корни $\frac{5\pi}3$, $\frac{8\pi}3$.

В порядке возрастания получаем $\frac{5\pi}3$, $\frac{7\pi}3$, $\frac{8\pi}3$. Все они лежат на заданном отрезке и дают $\cos2x=-\frac12$. Концы $\frac{3\pi}2$ и $3\pi$ уравнению не удовлетворяют.