Логарифмические уравнения: ОДЗ и проверка корней

Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Например, log₃9 = 2, потому что 3² = 9. Это определение помогает решать уравнения: запись с логарифмом можно заменить равенством со степенью.

Сначала допустимые значения

У действительного логарифма log_ab основание a положительно и не равно единице, а аргумент b строго положителен. Если на месте b стоит выражение с x, это выражение должно быть больше нуля. Все такие ограничения образуют область допустимых значений, ОДЗ.

Проверять нужно каждый логарифм исходного уравнения. У log₂(x − 5) условие x − 5 > 0, то есть x > 5. Значение x = 5 не подходит: логарифм нуля не определён. Если переменная стоит также в основании или знаменателе, соответствующие ограничения добавляются к тем, что уже записаны.

log_au = b ⇔ u = a^b, если a > 0 и a ≠ 1.

Правая часть a^b положительна, поэтому при таком переходе аргумент найденного решения автоматически окажется положительным. И всё же исходная запись ОДЗ полезна: она показывает смысл ограничения и остаётся ориентиром при более длинных преобразованиях.

Пример 1. Один логарифм

Решим уравнение log₃(2x − 1) = 2.

1. Запишем ограничение. Основание 3 допустимо. Для аргумента нужно 2x − 1 > 0, откуда x > 1/2.
2. Перейдём к степени. Равенство означает, что 2x − 1 равно 3². Поэтому получаем обычное линейное уравнение 2x − 1 = 9.
3. Найдём x. Прибавим 1 к обеим частям: 2x = 10. Разделим на 2: x = 5.
4. Проверим. Число 5 больше 1/2. В исходном уравнении получаем log₃(2 · 5 − 1) = log₃9 = 2. Ответ: 5.

Нельзя заменять log₃(2x − 1) на 2x − 1. Логарифм является отдельной операцией. Его убирают с помощью определения, одновременно заменяя правую часть на степень основания.

Как объединять логарифмы

При одинаковом допустимом основании сумма двух логарифмов равна логарифму произведения аргументов, если оба исходных аргумента положительны.

log_au + log_av = log_a(uv), при u > 0 и v > 0.

Здесь важны оба условия. У произведения uv знак может быть положительным и тогда, когда u и v отрицательны. Но исходные логарифмы в этом случае не существуют. Поэтому после объединения нельзя заменять прежнюю ОДЗ одним условием uv > 0.

Пример 2. Два кандидата, один корень

Решим уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.

1. Для первого логарифма нужно x > 1, для второго x > −1. Оба требования выполняются одновременно при x > 1.
2. На этой области объединим сумму: log₂((x − 1)(x + 1)) = 3. По определению логарифма получаем (x − 1)(x + 1) = 2³ = 8.
3. Раскроем произведение по формуле разности квадратов: x² − 1 = 8. Следовательно, x² = 9. У этого уравнения два кандидата: x = 3 и x = −3.
4. Условие x > 1 оставляет только 3. При x = −3 исходные аргументы равны −4 и −2, поэтому это число не является корнем.
5. Подстановка x = 3 даёт log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3. Ответ: 3.

Что проверить перед ответом

Сумму логарифмов нельзя заменять логарифмом суммы аргументов. Например, log₂2 + log₂4 = 3, а log₂(2 + 4) = log₂6, и это другое число. При разности логарифмов возникает частное аргументов, а исходные условия их положительности также сохраняются.

Сам логарифм может быть отрицательным: log₂(1/4) = −2. Запрет относится к аргументу, а не к значению логарифма. Завершай решение двумя действиями: отбери кандидатов по исходным ограничениям и подставь оставшиеся в исходное уравнение. Если задача просит сумму корней или больший корень, выполни этот выбор уже после проверки.