Логарифмическое неравенство

Внутри внешнего логарифма должно быть положительное число: $\log_2x>0$. Это равносильно $x>1$.

На ОДЗ $2^{\log_2(\log_2x)}=\log_2x$. Так как $\log_4x=\frac12\log_2x$, при $t=\log_2x>0$ получаем $t+\frac14t^2-3\le0$, или $(t+6)(t-2)\le0$.

При $t>0$ множитель $t+6$ положителен, поэтому $0<t\le2$. Основание 2 больше единицы: $1<x\le4$. Точка 1 исключена по ОДЗ, точка 4 включена по знаку $\le$.