Профильная математика · задание 16

Показательное неравенство с дробями

Решите неравенство

\frac{2\cdot8^{x-1}}{2\cdot8^{x-1}-1}\ge\frac3{8^x-1}+\frac8{64^x-5\cdot8^x+4}

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

x\in(-\infty;0)\cup\{\frac13\}\cup(\frac23;+\infty)

Пусть

t=8^x>0

. Тогда

2\cdot8^{x-1}=\frac t4

64^x=t^2

. Знаменатели не равны нулю, поэтому

t\ne1

t\ne4

. Получаем

\frac t{t-4}\ge\frac3{t-1}+\frac8{(t-1)(t-4)}

Приводим к общему знаменателю, не умножая на него без проверки знака:

\frac{t(t-1)-3(t-4)-8}{(t-1)(t-4)}=\frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)}\ge0.

Числитель неотрицателен и обращается в ноль при

t=2

. Знаменатель положителен при

t<1

или

t>4

, отрицателен при

1<t<4

. С учётом

t>0

получаем

0<t<1

, отдельную точку

t=2

t>4

Поскольку

8^x

возрастает,

8^x<1

означает

x<0

8^x=2

—

x=\frac13

, а

8^x>4

—

x>\frac23

Проверь этот момент

Точка

t=2

подходит даже при отрицательном знаменателе: числитель там равен нулю.

Проверь любой t между особыми точками. Нули числителя и знаменателя играют разные роли.

\frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)}

Числитель равен нулю, знаменатель ненулевой: точка подходит.

Изменения здесь относятся к учебному примеру. Ответ исходного задания сохраняется отдельно.

Краткие критерии ФИПИ. Полная таблица есть в источнике задания.

Обоснован полный ответ с отдельной точкой 1/3.

Верный ответ без точки 1/3; либо все шаги верны, а неверный ответ вызван вычислительной ошибкой.

Ни один из критериев выше не выполнен.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.