Логарифм с переменным основанием

Для первого логарифма нужно $x+5>0$. Основание второго логарифма $(x+5)^2$ должно быть положительным и не равным 1. На условии $x>-5$ это исключает только $x=-4$. Итак, $x>-5$, $x\ne-4$.

Пусть $t=\log_2(x+5)$, тогда $t\ne0$. По формуле перехода к основанию 2: $\log_{16}(x+5)=t/4$, а $\log_{(x+5)^2}2=1/(2t)$.

Получаем $\frac t4+\frac1{2t}\ge\frac34$, то есть $\frac{(t-1)(t-2)}{4t}\ge0$. Критические точки 0, 1, 2. Знаки дроби на последовательных промежутках: минус, плюс, минус, плюс. Значит $t\in(0;1]\cup[2;+\infty)$.

Из $0<\log_2(x+5)\le1$ следует $1<x+5\le2$, то есть $-4<x\le-3$. Из $\log_2(x+5)\ge2$ получаем $x+5\ge4$, то есть $x\ge-1$. Все эти значения входят в ОДЗ.