Показательное неравенство методом интервалов

Выражение определено при $-x^2+2x=x(2-x)\ne0$. Поэтому $x\ne0$ и $x\ne2$. Показательные выражения определены при всех действительных $x$.

Используем $15^x=3^x5^x$, $3^{x+1}=3\cdot3^x$ и $5^{x+1}=5\cdot5^x$. Тогда числитель равен $(3^x-5)(5^x-3)$. Проверка раскрытием скобок возвращает все четыре исходных слагаемых.

Нули множителей: $\alpha=\log_5 3$ и $\beta=\log_3 5$. Так как $1<3<5$, имеем $0<\alpha<1$. Из $3<5<9$ следует $1<\beta<2$. Поэтому порядок точек: $0<\alpha<\beta<2$.

Основания 3 и 5 больше 1, поэтому оба показательных множителя возрастают. Их произведение положительно при $x<\alpha$ и $x>\beta$, отрицательно при $\alpha<x<\beta$. Знаменатель положителен на $(0;2)$ и отрицателен вне этого интервала. Значит дробь имеет знаки: минус на $(-\infty;0)$, плюс на $(0;\alpha)$, минус на $(\alpha;\beta)$, плюс на $(\beta;2)$ и минус на $(2;+\infty)$.

Нужны положительные значения и ноль. Нули числителя $\alpha,\beta$ включаем: знаменатель в них не равен нулю. Точки 0 и 2 исключаем. Ответ: $(0;\log_5 3]\cup[\log_3 5;2)$.