Прямая и две ветви параболы

Из $2|y|=x^2-4x$ следует $x\le0$ или $x\ge4$. Верхняя ветвь: $y=\frac{x^2}{2}-2x$, $y\ge0$, включая $x=0,4$. Нижняя ветвь: $y=-\frac{x^2}{2}+2x$, $y<0$, то есть $x<0$ или $x>4$. Так точки $(0;0)$ и $(4;0)$ учитываются только один раз. Первая строка системы задаёт прямую $y=4x+a$.

Для верхней ветви получаем $x^2-12x-2a=0$, $D=144+8a$. Касание происходит при $a=-18$, $x=6$. Для нижней ветви: $x^2+4x+2a=0$, $D=16-8a$. Касание происходит при $a=2$, $x=-2$. Прямая проходит через концевые точки ветвей при $a=0$ и $a=-16$. Других границ нет.

Корни верхнего квадратного уравнения — $6\pm\sqrt{36+2a}$; оставляй только $x\le0$ или $x\ge4$. Корни нижнего — $-2\pm\sqrt{4-2a}$; оставляй только $x<0$ или $x>4$. Количество верхних + нижних пересечений: при $a<-18$: $0+2=2$; при $a=-18$: $1+2=3$; при $-18<a<-16$: $2+2=4$; при $a=-16$: $2+1=3$; при $-16<a<0$: $1+1=2$; при $a=0$: $2+1=3$; при $0<a<2$: $2+2=4$; при $a=2$: $2+1=3$; при $a>2$: $2+0=2$.

Ровно два решения получаются на трёх открытых промежутках: $a<-18$, $-16<a<0$, $a>2$. Все четыре граничные точки исключаем: на каждой три решения.