Профильная математика · задание 19

Число корней многочлена

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2

имеет ровно два различных корня.

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

a\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup\{0\}\cup(1;+\infty)

Разбор решения

Разложи на множители

После переноса и группировки левая часть равна

(x+1)\big(ax^3-2x^2+(a^3-a)x-2a^2+2\big)

=(x+1)(x^2+a^2-1)(ax-2).

Поэтому корни получаем из

x=-1

x^2=1-a^2

ax=2

Отдельно проверь a = 0

При

a=0

множитель

ax-2=-2

не даёт корней. Квадратное уравнение даёт

x=\pm1

, причём

-1

уже есть. Всего два различных корня: значение

a=0

подходит.

Рассмотри |a| < 1 и границы

При

0<|a|<1

квадратное уравнение даёт две точки

\pm\sqrt{1-a^2}

внутри

(-1;1)

. Вместе с

-1

2/a

, лежащим вне

[-2;2]

, это четыре различных корня. При

a=\pm1

получаем три разных корня:

-1

0

2/a

. Эти значения не подходят.

Рассмотри |a| > 1

Квадратное уравнение действительных корней не имеет. Остаются

-1

2/a

. Они различны, кроме

a=-2

, когда

2/a=-1

. Значит, подходят все

|a|>1

, кроме

a=-2

, а также уже проверенное

a=0

Проверь этот момент

При

a=0

нельзя делить на

a

. Повторяющийся корень

-1

считается одной точкой.

Сколько разных корней

Посмотри, как исчезают корни квадратного множителя и как совпадающие точки считаются один раз.

Параметр a0

(x+1)(x^2+a^2-1)(ax-2)=0

Различных корней: 2

-1; 1

Изменения здесь относятся к учебному примеру. Ответ исходного задания сохраняется отдельно.

Как ставятся баллы

Краткие критерии ФИПИ. Полная таблица есть в источнике задания.

Обоснован полный верный ответ.

Верное рассуждение; ответ отличается только включением −1 и/или 1.

Верное рассуждение; ответ отличается включением −2 и/или исключением 0, возможно также включением ±1; либо все шаги верны, но есть вычислительная ошибка.

Уравнение верно сведено к исследованию совокупности простых уравнений.

Ни один из критериев выше не выполнен.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 19

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →