Единственный корень после разности квадратов

На отрезке $[0;\pi]$ тангенс определён всюду, кроме $x=\pi/2$. Эта точка исключается до преобразований.

Обозначим левое выражение в скобках через $U$, правое через $V$. Тогда $U^2-V^2=(U-V)(U+V)=4(1-\tan x)(2x+a)$. Поэтому на ОДЗ уравнение равносильно $\tan x=1$ или $x=-a/2$.

Уравнение $\tan x=1$ на $[0;\pi]$ даёт только $x=\pi/4$. Значит один допустимый корень существует при любом значении параметра.

Число $-a/2$ не даёт второго решения в трёх случаях. Оно находится вне отрезка: $-a/2<0$ или $-a/2>\pi$, то есть $a>0$ или $a<-2\pi$. Оно совпадает с исключённой точкой $\pi/2$: тогда $a=-\pi$. Либо оно совпадает с уже найденным $\pi/4$: тогда $a=-\pi/2$.

При $a=0$ появляется дополнительный корень 0, а при $a=-2\pi$ — дополнительный корень $\pi$, поэтому эти границы не входят в ответ. Во всех остальных значениях между $-2\pi$ и 0, кроме двух указанных, вторая ветвь даёт новый допустимый корень. Ответ: $(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi;-\pi/2\}\cup(0;+\infty)$.