Единственный корень показательного уравнения

Пусть $t=2^x>0$, тогда $4^x=t^2$. Каждому положительному $t$ соответствует ровно одно $x=\log_2t$. Переносим всё влево: $t^2+(a-8-3|a|)t-(a-6)(3|a|+2)=0$.

Полученное выражение равно $(t+a-6)(t-3|a|-2)$. Поэтому $t_1=6-a$ и $t_2=3|a|+2$. Второй кандидат всегда положителен.

Ровно один положительный корень возможен в двух случаях: первый кандидат неположителен либо оба кандидата совпадают. Условие $6-a\le0$ даёт $a\ge6$. При $a=6$ значение $t_1=0$ тоже не даёт решения по $x$.

Равенство $6-a=3|a|+2$ сводится к $4-a=3|a|$. Если $a\ge0$, получаем $4-a=3a$, откуда $a=1$. Если $a<0$, получаем $4-a=-3a$, откуда $a=-2$. Оба значения лежат в рассмотренных случаях, а общий корень положителен.

При остальных $a<6$ оба кандидата положительны и различны, поэтому дают два решения. Итак, $a\in\{-2;1\}\cup[6;+\infty)$.