Профильная математика · задание 19

Три различных решения радикального уравнения

ФИПИ 8C0C15 · Развернутый ответ

КЭС 2.10 · Уравнения, неравенства и системы с параметрами

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{{x}^{4}-16{x}^{2}+64{a}^{2}}={x}^{2}+4x-8a

имеет ровно 3 решения.

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

a\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)

Разбор решения

Сохраняем знак правой части

Пусть

R=x^2+4x-8a

. Исходное уравнение равносильно

x^4-16x^2+64a^2=R^2

вместе с

R\ge0

. При равенстве радиканд автоматически равен неотрицательному квадрату.

Находим всех кандидатов

Разность квадрата правой части и радиканда равна

8x^3+(32-16a)x^2-64ax=8x(x+4)(x-2a)

. Поэтому возможны только

x=0

x=-4

x=2a

Проверяем кандидаты в условии знака

При

x=0

x=-4

получаем

R=-8a

, поэтому оба корня допустимы ровно при

a\le0

. При

x=2a

правая часть равна

4a^2\ge0

, так что этот корень допустим всегда.

Убираем совпадения

При

a>0

остаётся один корень. При

a=0

кандидаты 0 и

2a

совпадают, поэтому корней два. При

a=-2

совпадают

-4

2a

, снова корней два. Для остальных

a<0

все три кандидата допустимы и различны.

Ответ

Искомые параметры:

a<0

a\ne-2

, то есть

(-\infty;-2)\cup(-2;0)

. Другие решения исключены полным разложением произведения.

Проверь этот момент

Нельзя считать три записи корней тремя решениями: при специальных параметрах они совпадают.

Проверить корни после возведения в квадрат

\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a

После возведения в квадрат остаются три кандидата. Проверяем знак правой части исходного уравнения и считаем совпадающие корни один раз.

Параметр a-1

Кандидат 1: x = 0. Правая часть = 8; подходит.

Кандидат 2: x = -4. Правая часть = 8; подходит.

Кандидат 3: x = -2. Правая часть = 4; подходит.

Различных решений: 3

x ≈ -4; -2; 0

Условие неотрицательности правой части возвращает нас к исходному уравнению. Кнопки выбирают точные значения параметра.

Изменения здесь относятся к учебному примеру. Ответ исходного задания сохраняется отдельно.

Ориентиры для самопроверки

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Найдены все кандидаты, проверены ограничения и исключены совпадения; получен полный ответ.

Допустимость кандидатов разобрана правильно, но пропущено одно совпадение.

Получены все три кандидата и учтена необходимость неотрицательной правой части, но допустимость и число различных корней разобраны не полностью.

Получено верное разложение и три кандидата, но подсчёт допустимых различных корней не закончен.

Нет обоснованного результата по перечисленным этапам.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 19

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →