Один корень на отрезке

Нужно $x+a>0$. При этом разность квадратов равна $4x\ln(x+a)$, поэтому уравнение равносильно $x=0$ или $\ln(x+a)=0$ с сохранением ограничения на логарифм.

Корень $x=0$ допустим тогда и только тогда, когда $a>0$. Второй кандидат $x=1-a$ всегда даёт аргумент логарифма $1$, но лежит на $[0;1]$ только при $0\le a\le1$.

При $a<0$ на отрезке нет корней. При $a=0$ есть только $x=1$. При $0<a<1$ есть два различных корня $0$ и $1-a$. При $a=1$ обе ветви совпадают и дают один корень $x=0$. При $a>1$ второй кандидат отрицателен, остаётся только $x=0$.

Ровно одно решение на заданном отрезке получается при $a=0$ или $a\ge1$: $a\in\{0\}\cup[1;+\infty)$.