Параметр и положительные корни

Положим $t=5^x>0$. Тогда $25^x=t^2$, и каждому $t>0$ соответствует ровно одно $x=\log_5t$. Переносим правую часть: $t^2-(a+11+3|a|)t+(a+6)(3|a|+5)=0$.

Левая часть равна $(t-a-6)(t-3|a|-5)$. Два кандидата: $t_1=a+6$, $t_2=3|a|+5$. Второй всегда положителен.

При $a+6\le0$, то есть $a\le-6$, первый кандидат не даёт решения по $x$, а второй даёт ровно одно. Граница $a=-6$ включается: $5^x$ никогда не равняется нулю.

Если первый кандидат положителен, единственный корень получается только при совпадении $a+6=3|a|+5$, то есть $a+1=3|a|$. При $a\ge0$ имеем $a=1/2$, а при $a<0$ получаем $a=-1/4$. Оба результата удовлетворяют своим условиям.

В остальных случаях оба кандидата положительны и различны. Поэтому полное множество параметров: $(-\infty;-6]\cup\{-1/4;1/2\}$.