Профильная математика · задание 19

Три корня уравнения с радикалом

ФИПИ E1F91F · Развернутый ответ

КЭС 2.10 · Уравнения, неравенства и системы с параметрами

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{{x}^{4}-4{x}^{2}+9{a}^{2}}={x}^{2}+2x-3a

имеет ровно 3 решения.

Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.

Ответ

a\in(-\infty;-\frac43)\cup(-\frac43;0)

Разбор решения

Условие равносильного возведения в квадрат

Обозначим правую часть

R=x^2+2x-3a

. Исходное уравнение равносильно системе

x^4-4x^2+9a^2=R^2

R\ge0

. Отдельно требовать неотрицательность радиканда после этой замены не нужно: из равенства он уже равен квадрату

R^2

Раскладываем разность

Вычитая левую часть из квадрата правой и раскрывая скобки, получаем

4x^3+(8-6a)x^2-12ax=2x(x+2)(2x-3a)

. Поэтому возможны только три кандидата:

x=0

x=-2

x=3a/2

Проверяем допустимость кандидатов

При

x=0

и при

x=-2

правая часть равна

-3a

. Оба значения подходят тогда и только тогда, когда

a\le0

. При

x=3a/2

правая часть равна

9a^2/4\ge0

, поэтому этот кандидат подходит при любом

a

. Все проверки относятся к исходному уравнению благодаря равносильной системе.

Считаем различные корни

При

a>0

остаётся один корень. При

a\le0

все три кандидата допустимы, но они могут совпасть:

3a/2=0

при

a=0

, а

3a/2=-2

при

a=-4/3

. В обоих исключительных случаях получается только два различных корня.

Записываем полный ответ

Ровно три различных решения получаются при

a<0

a\ne-4/3

(-\infty;-4/3)\cup(-4/3;0)

. Других корней быть не может, поскольку после равносильного преобразования перечислены все нули произведения.

Проверь этот момент

Корни после возведения в квадрат нужно проверять по знаку правой части. Совпадающие кандидаты считаются одним решением.

Проверить корни после возведения в квадрат

\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a

После возведения в квадрат остаются три кандидата. Проверяем знак правой части исходного уравнения и считаем совпадающие корни один раз.

Параметр a-1

Кандидат 1: x = 0. Правая часть = 3; подходит.

Кандидат 2: x = -2. Правая часть = 3; подходит.

Кандидат 3: x = -1,5. Правая часть = 2,25; подходит.

Различных решений: 3

x ≈ -2; -1,5; 0

Условие неотрицательности правой части возвращает нас к исходному уравнению. Кнопки выбирают точные значения параметра.

Изменения здесь относятся к учебному примеру. Ответ исходного задания сохраняется отдельно.

Ориентиры для самопроверки

Учебная шкала платформы для этой карточки.

Получены все кандидаты, проверена их допустимость и исключены оба совпадения; ответ полный.

Получены кандидаты и верное условие допустимости, но пропущено одно совпадение корней.

Получены все три кандидата и учтена необходимость неотрицательной правой части, но допустимость и число различных корней разобраны не полностью.

Выполнено верное разложение и получены три кандидата, но полный подсчёт допустимых корней не проведён.

Нет обоснованного результата по перечисленным этапам.

Без JavaScript можно прочитать условие и полный разбор ниже. Для проверки ответа и интерактивных моделей включи JavaScript.

Следующая задача →Все № 19

Вернись к своим ошибкам

В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.

Продолжить с прогрессом →