Логарифмы с переменным основанием

Требуется $x+4>0$. Второе основание равно $x^2+8x+16=(x+4)^2$ и не должно равняться $1$. При $x+4>0$ это даёт $x>-4$ и $x\ne-3$. Аргумент $\sqrt7$ положителен.

Положим $t=\log_7(x+4)$. Тогда $t\ne0$, $\log_{49}(x+4)=\frac t2$, а $\log_{(x+4)^2}\sqrt7=\frac{\log_7\sqrt7}{\log_7((x+4)^2)}=\frac{1/2}{2t}=\frac1{4t}$.

Получаем $\frac t2+\frac1{4t}\le-\frac34$. Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю: $\frac{2t^2+3t+1}{4t}\le0$, то есть $\frac{(2t+1)(t+1)}{t}\le0$. Положительный множитель $4$ на знак не влияет.

Критические точки: $-1$, $-\frac12$, $0$. Слева направо знаки дроби: минус, плюс, минус, плюс. Нули числителя включаем, ноль знаменателя исключаем. Значит, $t\in(-\infty;-1]\cup[-\frac12;0)$.

Функция $7^t$ возрастает. Поэтому $x+4\in(0;\frac17]\cup[\frac1{\sqrt7};1)$. Вычитаем $4$: $x\in(-4;-\frac{27}7]\cup[-4+\frac1{\sqrt7};-3)$. Все полученные значения удовлетворяют области определения.