Показательное уравнение с синусом

Квадратный корень должен существовать, а знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому $11\sin x>0$, то есть $\sin x>0$. При этом дробь равна нулю ровно тогда, когда её числитель равен нулю.

Так как $9=3^2$, получаем $3^{2\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}$. Функция $3^t$ строго возрастает, поэтому её значения равны только при равных показателях: $\sin2x=\sqrt2\sin x$.

Формула $\sin2x=2\sin x\cos x$ даёт $\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0$. Случай $\sin x=0$ запрещён знаменателем. Значит, $\cos x=\sqrt2/2$. Из серий $x=\pm\pi/4+2\pi k$ условию $\sin x>0$ удовлетворяет только $x=\pi/4+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Подставим найденную серию в границы: $7\pi/2\le\pi/4+2\pi k\le5\pi$. После деления на положительное $2\pi$ получаем $13/8\le k\le19/8$. Единственное целое число здесь $k=2$, поэтому подходит $17\pi/4$. Оно лежит внутри отрезка, и его синус положителен.