Длина вектора: от координат к ответу

Вектор задаёт перемещение: куда двигаться и на какое расстояние. Его координаты показывают изменения по осям. Запись a = (x; y) означает перемещение на x единиц по горизонтали и на y единиц по вертикали. Отрицательная координата указывает направление влево или вниз. Сама длина вектора отрицательной быть не может.

Сначала координаты, затем длина

Если известны точки A и B, координаты вектора AB находятся по правилу «конец минус начало»: отдельно вычти координаты по каждой оси. Важно смотреть на направление стрелки. Начало вектора не обязано совпадать с началом координат.

Вектор можно параллельно перенести в другое место рисунка. Его координаты и длина сохранятся, если направление и величина перемещения не изменились. Поэтому сначала считай, на сколько клеток сместился конец относительно начала стрелки, а не относительно пересечения осей.

AB = (x_B − x_A; y_B − y_A).

Горизонтальное и вертикальное перемещения образуют катеты прямоугольного треугольника. Сам вектор становится его гипотенузой. Поэтому работает теорема Пифагора: складываем квадраты координат и извлекаем квадратный корень.

|a| = √(x² + y²).

Пример

Даны A(−2; 1) и B(4; 9). Найдём длину вектора AB.

1. По горизонтали получаем 4 − (−2) = 6. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
2. По вертикали получаем 9 − 1 = 8. Значит, AB = (6; 8): шесть единиц вправо и восемь вверх.
3. Длина равна √(6² + 8²) = √100 = 10.

Для обратного вектора BA обе координаты поменяют знак: (−6; −8). Однако квадраты останутся теми же, поэтому длина снова равна десяти. Направления противоположны, расстояние одинаковое.

Типичная ошибка

Нельзя складывать перемещения 6 и 8 и получать длину 14. Это длина пути по двум катетам, а требуется прямой отрезок между A и B. По той же причине длина суммы двух векторов обычно не равна сумме их длин: сначала складывают координаты.

Перед ответом проверь три вещи: откуда направлена стрелка, правильно ли раскрыты скобки при вычитании и извлечён ли корень. Число под корнем является квадратом длины. На сетке также проверь масштаб: одна клетка не всегда означает одну единицу.