График производной: возрастание, убывание и точки экстремума

Перед решением посмотри, какой график дан: самой функции y = f(x) или её производной y = f′(x). Внешне рисунки могут быть похожи, но читаются по-разному. У графика функции знак производной связан с наклоном. У графика производной для этого достаточно положения выше или ниже горизонтальной оси.

Что говорит знак производной

Если f′(x) > 0 на промежутке, функция f там возрастает. Если f′(x) < 0, она убывает. Представь, что двигаешься по оси x слева направо: положительная производная означает увеличение значения функции, отрицательная его уменьшение.

При переходе через точку из плюса в минус возрастание сменяется убыванием. Получается локальный максимум. Переход из минуса в плюс означает локальный минимум. Слово «локальный» относится к сравнению с ближайшими точками, а не обязательно со всей областью определения.

f′: + → − ⇒ максимум.   f′: − → + ⇒ минимум.

Поэтому на рисунке y = f′(x) ищут пересечения с осью x и проверяют знаки по обе стороны. Высота самой линии производной в её верхней точке не показывает максимум функции f. Эта высота описывает скорость изменения функции.

Пример 1. Экстремумы по графику f′

На рисунке показана производная на промежутке (−3; 2). Её нули находятся при x = −2 и x = 1. Определим, где исходная функция возрастает и где у неё экстремумы.

1. На (−3; −2) график производной выше оси. Значит, f′ > 0 и функция f возрастает.
2. На (−2; 1) линия находится ниже оси. Здесь f′ < 0, поэтому f убывает.
3. На (1; 2) производная снова положительна. Функция f снова возрастает.
4. При x = −2 знак меняется с плюса на минус: это точка локального максимума. При x = 1 знак меняется с минуса на плюс: это точка локального минимума.

Ответ на вопрос «найдите точку максимума» здесь равен −2. Число 0 является значением производной в этой точке. Значение самой функции f(−2) по данному рисунку не известно. Функции f(x) и f(x) + 100 имеют одинаковую производную, хотя их графики расположены на разной высоте.

Пример 2. Наибольшее значение на отрезке

Найдём наибольшее и наименьшее значения f(x) = −x² + 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Здесь требуется сравнить значения функции, причём концы отрезка тоже входят в область поиска.

1. Найдём производную: f′(x) = −2x + 4. Она равна нулю при x = 2, и эта точка принадлежит [0; 5].
2. До 2 производная положительна, после 2 отрицательна. Следовательно, функция сначала возрастает, затем убывает. Возможный максимум внутри отрезка находится при x = 2.
3. Вычислим значения в этой точке и на концах: f(0) = 1; f(2) = −4 + 8 + 1 = 5; f(5) = −25 + 20 + 1 = −4.
4. Сравним три числа. Наибольшее значение равно 5, оно достигается при x = 2. Наименьшее значение равно −4, оно достигается при x = 5.

В этом примере ответ «2» был бы ошибкой, если в условии просят именно наибольшее значение. Двойка обозначает аргумент, а искомое значение функции равно пяти.

Частая ошибка

Нулевой производной самой по себе недостаточно для экстремума. У f(x) = x³ производная 3x² обращается в нуль при x = 0, но положительна по обе стороны. Функция продолжает возрастать, максимума или минимума в нуле нет. Проверяй смену знака, а не только факт касания оси.

Также не путай убывание производной с убыванием функции. Линия f′ может идти вниз и оставаться выше оси. Тогда f продолжает возрастать, только её рост становится медленнее. Чтобы сделать вывод, сначала прочитай подпись графика, затем найди нужные промежутки и лишь после этого запиши ответ в требуемом виде.