Сечение призмы: как провести линии по граням

Сечение многогранника плоскостью состоит из точек, которые принадлежат и телу, и этой плоскости. Если плоскость проходит через внутренность выпуклой призмы, получается многоугольник. Его стороны лежат в гранях, а вершины обычно находятся на рёбрах призмы.

Как начать построение

Найди две заданные точки на одной грани и соедини их. Полученный отрезок лежит одновременно в грани и в секущей плоскости. Дойдя до ребра, переходи на соседнюю грань. Так стороны будущего сечения должны замкнуться в многоугольник.

Две точки на разных гранях нельзя автоматически считать соседними вершинами сечения. Сначала выясни, есть ли у них общая грань. Продолжения вспомогательных прямых за пределами тела помогают строить, но сами в сечение не входят.

Пример: середины трёх рёбер

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. В основании угол C прямой, AC = 6, BC = 8. Точки M, N, P являются серединами AA₁, BB₁, CC₁. Найдём площадь сечения плоскостью MNP.

1. Точки M и N лежат на грани ABB₁A₁. Соединяем их отрезком MN. Аналогично проводим NP на грани BCC₁B₁ и PM на грани CAA₁C₁. Получился треугольник MNP.
2. В каждой боковой грани отрезок между серединами боковых рёбер параллелен соответствующей стороне основания и равен ей. Поэтому MN = AB, NP = BC, PM = CA.
3. Треугольники MNP и ABC равны по трём сторонам. Площадь сечения равна площади основания: 6 · 8 / 2 = 24.

Плоскость сечения параллельна основаниям: две пересекающиеся прямые MN и MP соответственно параллельны AB и AC. Если поднять такое сечение выше, сохраняя параллельность основаниям, его форма и размеры не изменятся. Это свойство призмы сохраняется и при наклонных боковых рёбрах.

Типичная ошибка

Середины рёбер не означают, что площадь сечения уменьшилась вчетверо. Такое рассуждение подходит к параллельному сечению пирамиды, где боковые рёбра сходятся в вершине. У призмы они параллельны, поэтому расстояние от основания не задаёт уменьшение фигуры.

Проверяй построение по граням, а вычисления по доказанным равенствам. Длины на перспективном рисунке нельзя измерять линейкой: он показывает расположение точек, а не все истинные расстояния и углы.