Скалярное произведение векторов: координаты, угол и знак

Скалярное произведение помогает связать координаты двух векторов с углом между ними. Результат этой операции всегда число. Оно может быть положительным, отрицательным или нулевым. Не нужно извлекать из него корень или записывать ответ в виде пары координат.

Две формулы для одной величины

Если в прямоугольной системе координат даны a = (a_x; a_y) и b = (b_x; b_y), перемножь координаты с одинаковыми индексами и сложи результаты. Первую координату первого вектора умножают на первую координату второго, вторую на вторую. Координаты крест-накрест здесь не перемножают.

a · b = a_xb_x + a_yb_y.

В пространстве правило остаётся таким же: добавляется произведение третьих координат a_zb_z. Если известны длины и угол φ между ненулевыми векторами, удобнее другая запись:

a · b = |a| · |b| · cos φ.

Чтобы увидеть угол, мысленно перенеси начала обоих векторов в одну точку. Переносить можно параллельно, сохраняя направление стрелок. Угол между векторами выбирают от 0° до 180°. Отдельно измерять угол на рисунке не нужно, если его косинус уже можно вычислить по данным задачи.

Пример 1. Векторы заданы точками

Даны A(−1; 2), B(3; 5), C(2; −1), D(−1; 3). Найдём скалярное произведение AB · CD и определим угол между векторами.

1. Найдём координаты. Для каждой стрелки вычитаем начало из конца: AB = (3 − (−1); 5 − 2) = (4; 3). Аналогично CD = (−1 − 2; 3 − (−1)) = (−3; 4).
2. Вычислим произведение. Получаем 4 · (−3) + 3 · 4 = −12 + 12 = 0. Нуль возник после сложения, хотя оба слагаемых ненулевые.
3. Проверим смысл. Оба вектора ненулевые. Их длины равны √(16 + 9) = 5 и √(9 + 16) = 5. Поэтому 25 cos φ = 0, откуда cos φ = 0 и φ = 90°. Векторы перпендикулярны.

Пример 2. Известны длины и угол

Длины векторов a и b равны 6 и 4, угол между ними равен 120°. Найдём a · b.

1. Выбираем формулу через угол: a · b = 6 · 4 · cos 120°. Координаты для этого решения не нужны.
2. Угол 120° лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Так как 120° = 180° − 60°, получаем cos 120° = −cos 60° = −1/2.
3. Подставляем: 24 · (−1/2) = −12. Отрицательный результат допустим: мы вычислили скалярное произведение, а не длину.

Если развернуть только вектор b, новый угол станет 60°, а произведение поменяет знак: a · (−b) = 12. Если развернуть оба вектора, взаимный угол сохранится, поэтому (−a) · (−b) = −12.

Как проверить ответ

Для ненулевых векторов положительное произведение означает угол меньше 90°, отрицательное угол больше 90°, нулевое угол ровно 90°. Если нужен сам косинус, раздели найденное число на произведение длин: cos φ = (a · b)/(|a| · |b|). Результат обязан попасть в промежуток от −1 до 1. Выход за эти границы указывает на ошибку в координатах, знаках или длинах.

Частая ошибка: считать нулевое произведение признаком параллельности. Для двух ненулевых векторов это признак перпендикулярности. Если один вектор нулевой, произведение тоже равно нулю, но угол с ним не определяют. Ещё одна полезная проверка: a · a = |a|². Здесь получается квадрат длины, а не сама длина.