Пирамида с шестиугольным основанием

В правильном шестиугольнике $AD\parallel BC$. В треугольнике $SAD$ отрезок $MK$ соединяет середины двух сторон, поэтому $MK\parallel AD$. Значит, $MK\parallel BC$.

Обозначим центр основания через $O$, а середину $AO$ через $H$. В треугольнике $SAO$ отрезок $MH$ — средняя линия, параллельная высоте $SO$. Поэтому $MH\perp(ABCDEF)$ и является высотой пирамиды $MABF$. Четырёхугольник $BAFO$ — параллелограмм; его диагонали $AO$ и $BF$ пересекаются в $H$, поэтому $H$ — также середина $BF$.

В правильном шестиугольнике $BC\perp BF$. Также $BC\perp MH$, поскольку $MH$ перпендикулярен основанию. Значит, $BC\perp(BMF)$, в частности $BC\perp BM$. Плоскости пересекаются по $BC$, и их линейный угол — $\angle MBH=30^\circ$. Длина $BF=12\sqrt3$, поэтому $BH=6\sqrt3$. В прямоугольном треугольнике $MBH$ получаем $MH=BH\tan30^\circ=6$.

$\angle BAF=120^\circ$, поэтому $S_{ABF}=\frac12\cdot12\cdot12\sin120^\circ=36\sqrt3$. Тогда $V_{MABF}=\frac13S_{ABF}\cdot MH=\frac13\cdot36\sqrt3\cdot6=72\sqrt3$.