Сечение правильного тетраэдра

Обе части имеют вершину $C$ и основания в плоскости $ABD$, поэтому их высоты равны. Треугольники $AMK$ и $ABD$ подобны с коэффициентом $\frac46=\frac23$. Площадь $AMK$ составляет $\frac49$ площади $ABD$, а площадь оставшейся трапеции — $\frac59$. Поэтому объёмы относятся как $5:4$.

Пусть $T$ — середина $BD$, а $L=AT\cap MK$. В равносторонних треугольниках $ABD$ и $CBD$ высоты $AT$ и $CT$ перпендикулярны $BD$. Поэтому плоскость $ACT$ перпендикулярна $BD$ и параллельной ей $MK$. Перпендикуляр от $A$ к плоскости $CMK$ лежит в $ACT$ и перпендикулярен $CL$; значит, проекция $AC$ на $CMK$ лежит на $CL$. Искомый угол — $\angle ACL$.

$AT=CT=3\sqrt3$, $AL=\frac23AT=2\sqrt3$, $AC=6$. По теореме косинусов в $ACT$ получаем $\cos\angle CAT=\frac{AC^2+AT^2-CT^2}{2AC\cdot AT}=\frac1{\sqrt3}$. В $ACL$: $CL^2=36+12-2\cdot6\cdot2\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3}=24$, то есть $CL=2\sqrt6$.

По теореме косинусов $\cos\angle ACL=\frac{AC^2+CL^2-AL^2}{2AC\cdot CL}=\frac{36+24-12}{2\cdot6\cdot2\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{3}$.