Профильная математика · задание 15
Прямоугольное сечение правильной пирамиды
ФИПИ 149319 · Развернутый ответ
- КЭС 7.2 · Прямые и плоскости в пространстве
- КЭС 7.3 · Многогранники
В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т параллельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.
Ответ
а) Сечение — прямоугольник; б) .
Разбор решения
Доказываем перпендикулярность направлений
Пусть — середина , а — центр равностороннего основания. Прямая содержит и перпендикулярна . Высота правильной пирамиды тоже перпендикулярна . Прямые и пересекаются и лежат в плоскости , поэтому . В частности, .
Строим сечение
Через в грани проведём , где . Через в основании проведём , где . Через в грани проведём , где . Так как , из подобия и следует . Поэтому , а из подобия и получаем . Аналогично . Значит , и .
а) Определяем вид сечения
Точки лежат в одной секущей плоскости: и параллельны , а и параллельны . Сечение — параллелограмм. Поскольку , его соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, сечение является прямоугольником.
б) Находим стороны
Из подобия и получаем . В треугольнике имеем , поэтому .
Площадь прямоугольника
.
Проверь этот момент
Правильная треугольная пирамида не обязательно является правильным тетраэдром. Здесь сторона основания 5, а боковое ребро 9.
Ориентиры для самопроверки
Учебная шкала платформы для этой карточки.
3
Обоснованы построение прямоугольного сечения и площадь 10.
2
Прямоугольность доказана; верно найдена хотя бы одна сторона сечения, но вычисление площади не завершено.
1
Доказана прямоугольность сечения либо обоснованно найдены обе его стороны.
0
Нет обоснованного результата по перечисленным этапам.
Вернись к своим ошибкам
В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.
Продолжить с прогрессом →