Профильная математика · задание 15
Прямоугольное сечение треугольной пирамиды
ФИПИ 30ED04 · Развернутый ответ
- КЭС 7.2 · Прямые и плоскости в пространстве
- КЭС 7.3 · Многогранники
В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т параллельно прямым и проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.
Ответ
а) Сечение является прямоугольником. б) .
Разбор решения
Строим сечение
Пусть сечение пересекает , , в точках , , . В гранях и получаем и . Поскольку вся секущая плоскость параллельна и , также и . Следовательно, является параллелограммом.
Доказываем перпендикулярность
Пусть является серединой . Из равнобедренности и следует и . Две прямые и пересекаются в плоскости , поэтому , в частности . Смежные стороны сечения параллельны этим прямым, значит, угол между ними прямой. Параллелограмм является прямоугольником.
Находим обе стороны
По условию и . Из подобия и получаем . Из подобия и получаем . Эти отношения лежат между нулём и единицей, поэтому точки , действительно находятся на рёбрах. Аналогично замыкающая вершина лежит на .
Вычисляем площадь
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: .
Проверь этот момент
Для TU нужен коэффициент DT/DA = 1/3, а для TW коэффициент AT/AD = 2/3.
Ориентиры для самопроверки
Учебная шкала платформы для этой карточки.
3
Доказана прямоугольность сечения, найдены обе стороны и площадь 20/3.
2
Доказательство прямоугольности верно и найдена хотя бы одна сторона; вычисление площади не завершено.
1
Есть обоснованный существенный шаг решения, но работа не завершена.
0
Нет обоснованного продвижения к решению.
Вернись к своим ошибкам
В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.
Продолжить с прогрессом →