Профильная математика · задание 15
Прямая и боковая грань призмы
ФИПИ F7B7A1 · Развернутый ответ
- КЭС 7.2 · Прямые и плоскости в пространстве
- КЭС 7.3 · Многогранники
В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный ( ) треугольник . Точка – середина ребра , а точка делит ребро в отношении .
а) Докажите, что .
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , и .
Сравни ход решения и критерии. Это самопроверка, без автоматической оценки развёрнутого ответа.
Ответ
а) ; б) .
Разбор решения
а) Строим проекцию KM на основание
Пусть — середина , а — середина . В равнобедренном треугольнике . Из следует , поэтому — середина . В треугольнике отрезок является средней линией, значит и .
Доказываем перпендикулярность
Призма прямая, поэтому параллелен боковым рёбрам и перпендикулярен основанию. Следовательно, и . Прямые и пересекаются в плоскости , так что . В частности, .
б) Находим длину KM
Имеем , поэтому . Тогда , а . Из прямоугольного треугольника получаем .
Находим расстояние до боковой грани
Опустим из перпендикуляр на . Он лежит в основании, поэтому перпендикулярен и вертикальной прямой через в плоскости . Значит . В основании , а . Поэтому .
Вычисляем угол с плоскостью
Точка лежит в плоскости , а — проекция на неё. Следовательно, искомый угол равен . В прямоугольном треугольнике имеем . Угол между прямой и плоскостью берут от 0 до 90°, поэтому .
Проверь этот момент
Угол с плоскостью измеряется между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
Ориентиры для самопроверки
Учебная шкала платформы для этой карточки.
3
Доказано KM⊥AC, обоснована проекция на боковую грань и верно вычислен угол.
2
Доказан пункт а и построен верный прямоугольный треугольник для угла, но допущена вычислительная ошибка.
1
Полностью доказана перпендикулярность KM и AC.
0
Нет законченного доказательства или обоснованного вычисления угла.
Вернись к своим ошибкам
В кабинете сохраняются результаты. Можно решать по номеру или собрать целый пробник.
Продолжить с прогрессом →